在系统理论中，判断一个系统是否具备线性、时不变性、因果性、稳定性和记忆性等性质是分析和设计系统的基础。下面将详细说明每种性质的定义以及相应的判断方法。
1. 线性（Linearity）
定义
线性系统满足叠加原理，即对于任意输入信号
$$ x_1(t) $$
和
$$ x_2(t) $$
，以及任意常数 $$ a$$ 和 $$
b$$，系统的响应满足：
$$ S[a x_1(t) + b x_2(t)] = a S[x_1(t)] + b S[x_2(t)] $$
判断方法
要判断系统是否线性，可以通过验证叠加原理是否成立。具体步骤包括：
-
齐次性（比例性）：
-
对于任意输入信号
$$ x(t) $$
和任意常数 $$a$$，验证： $$ S[a x(t)] = a S[x(t)] $$
-
如果等式成立，系统满足齐次性。
-
-
叠加性：
-
对于任意两个输入信号
$$ x_1(t) $$
和 $$ x_2(t) $$
，验证： $$ S[x_1(t) + x_2(t)] = S[x_1(t)] + S[x_2(t)] $$
-
如果等式成立，系统满足叠加性。
-
如果系统同时满足齐次性和叠加性，则系统是线性的。
示例
假设系统的输入输出关系为
$$ y(t) = 2x(t) $$
。验证线性：
- 齐次性：
$$ S[a x(t)] = 2(a x(t)) = a (2x(t)) = a S[x(t)] $$
- 叠加性：
$$ S[x_1(t) + x_2(t)] = 2(x_1(t) + x_2(t)) = 2x_1(t) + 2x_2(t) = S[x_1(t)] + S[x_2(t)] $$
因此，该系统是线性的。
2. 时不变性（Time-Invariance）
定义
时不变系统的特性不随时间的推移而改变。即，如果输入信号延迟
$$ t_0 $$
后，系统的输出也延迟 $$ t_0 $$
，则系统是时不变的。数学表达为：
$$ S[x(t - t_0)] = y(t - t_0) $$
判断方法
要判断系统是否时不变，可以进行以下步骤：
-
输入延迟：
-
对输入信号
$$ x(t) $$
延迟 $$ t_0 $$
，得到 $$ x(t - t_0) $$
。
-
-
系统响应：
-
计算系统对延迟后的输入信号的响应 $$ S[x(t - t_0)] $$
。
-
-
输出延迟：
-
将原始输出
$$ y(t) = S[x(t)] $$
延迟 $$ t_0 $$
，得到 $$ y(t - t_0) $$
。
-
-
比较：
-
判断
$$ S[x(t - t_0)] $$
是否等于 $$ y(t - t_0) $$
。
-
如果对所有
$$ t_0 $$
均成立，则系统是时不变的；否则，系统是时变的。
示例
考虑系统
$$ y(t) = x(t) + t $$
：
- 输入延迟后：
$$ S[x(t - t_0)] = x(t - t_0) + t $$
- 输出延迟：
$$ y(t - t_0) = x(t - t_0) + (t - t_0) $$
显然
$$ S[x(t - t_0)] \neq y(t - t_0) $$
，因此该系统是时变的。
3. 因果性（Causality）
定义
因果系统的输出在任意时刻
$$ t$$ 仅依赖于当前及过去的输入值，即 $$
y(t) $$ 不依赖于未来的 $$
x(t’) $$ （ $$
t’ > t$$）。
判断方法
要判断系统是否因果，可以分析系统的输入输出关系，具体方法包括：
-
系统方程分析：
-
如果系统的输出
$$ y(t) $$
仅由 $$ x(\tau) $$
（ $$ \tau \leq t $$
）决定，则系统是因果的。
-
-
脉冲响应：
-
对于线性时不变系统，检查脉冲响应
$$ h(t) $$
。如果 $$ h(t) = 0 $$
对于所有 $$ t < 0 $$
，则系统是因果的。
-
-
系统分类：
- 实时系统通常是因果的，而预测系统通常是非因果的。
示例
考虑系统
$$ y(t) = x(t) + x(t - 1) $$
：
-
输出
$$ y(t) $$
仅依赖于当前 $$ x(t) $$
和过去 $$ x(t - 1) $$
的值。
-
因此，该系统是因果的。
相反，系统
$$ y(t) = x(t + 1) $$
依赖于未来的输入，故为非因果系统。
4. 稳定性（Stability）
定义
在系统理论中，通常讨论 BIBO 稳定性（Bounded Input, Bounded Output）。即对于所有有界输入
$$ |x(t)| \leq M_x $$
，系统的输出也有界 $$ |y(t)| \leq M_y $$
。
判断方法
判断系统是否 BIBO 稳定的方法包括：
-
脉冲响应：
-
对于线性时不变系统，若脉冲响应
$$ h(t) $$
满足 $$ \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| dt < \infty $$
，则系统是 BIBO 稳定的。
-
-
系统方程：
- 分析系统的输入输出关系，确保输出不会因为输入的有界性而发散。
-
极点分析（针对差分方程或传递函数）：
- 检查系统的极点位置，确保所有极点位于单位圆内（离散系统）或左半平面（连续系统）。
示例
对于系统
$$ y(t) = \int_{-\infty}^{t} e^{-(t - \tau)} x(\tau) d\tau $$
：
-
脉冲响应
$$ h(t) = e^{-t}u(t) $$
（其中 $$ u(t) $$
为单位阶跃函数）。
-
$$
$$
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| dt = \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = 1 < \infty
$$
- 因此，该系统是 BIBO 稳定的。
5. 记忆性（Memory）
定义
记忆性指系统的输出是否仅依赖于当前输入值。若系统的输出 $$y(t)$$ 仅由 $$x(t)$$ 决定，则称系统无记忆（memoryless）；否则，系统有记忆（memory）。
判断方法
要判断系统是否有记忆，可以分析系统的输入输出关系：
-
系统方程：
- 若 $$y(t)$$ 仅与 $$x(t)$$ 有关，则系统无记忆。
- 若 $$y(t)$$ 依赖于 $$x(t’)$$ （$$t’ \neq t$$），则系统有记忆。
-
脉冲响应：
- 对于线性时不变系统，若脉冲响应 $$h(t)$$ 是一个冲激函数 $$h(t) = k\delta(t)$$，则系统无记忆。
- 否则，系统有记忆。
示例
-
系统 $$y(t) = 3x(t)$$：
- 输出仅依赖于当前输入，系统无记忆。
-
系统 $$y(t) = x(t) + x(t - 1)$$：
- 输出依赖于当前和过去的输入，系统有记忆。 $$